好的，遵照您的要求，以下是根据提供的文本内容整理出的最详细、具体、结构化的笔记，完全遵循了规范公式、细节解释、连续编号标题、Markdown格式等所有指令。

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1. 系统与孤立系统 (System and Isolated System)

• 系统的概念: 任何我们感兴趣并划定出来进行研究的对象都可以被称为一个系统。例如，演讲者提到“你的身体”可以被看作一个系统。
• 孤立系统 (Isolated System):
  • 定义: 一个与外界（环境）没有任何能量交换的系统。
  • 宏观例子: 整个宇宙被认为是最大范围的孤立系统。我们所知道的已实现的宇宙系统，总体上是孤立的。
  • 科学构建: 在科学上，我们可以通过构建一个极其坚固且绝缘性极好的容器来近似一个孤立系统。理想情况下，这个系统与外界的能量交换为零。
    • 现实对比: 日常生活中的系统通常不是孤立的。例如，一个装有咖啡的盒子最终会冷却下来，因为它与环境发生了热量交换。
    • 系统边界的扩展: 如果我们将这个装咖啡的盒子以及它周围的整个宇宙一起考虑，那么这个更大的组合系统可以被视为孤立的。
  • 核心要点: 在现实世界中，完美的孤立系统是一种近似，因为没有任何绝缘是绝对完美的。我们所描述的有限系统通常都是对孤立系统的一种近似处理。

2. 能量的形式：热与功 (Forms of Energy: Heat and Work)

• 能量的不同形式: 能量可以以多种形式存在，例如热和功。
  • 热 (Heat): 演讲者举例说，将物体放在炉子上加热，就涉及热量交换。热的符号通常用 $Q$ 或 $q$ 表示。
  • 功 (Work):
    • 膨胀功: 如果将热咖啡密封在容器里，受热的空气会膨胀。打开容器时，气体冲出，这就是系统对外做功。
    • 电功: 电池驱动的马达是在做电功。
• 本课程的焦点:
  • 课程初期将专注于简单功，特别是膨胀功。
  • 我们将追溯到19世纪的活塞发动机模型，暂时不深入讨论电功等其他形式。

3. 能量形式的相互转换 (Interconversion of Energy Forms)

• 核心原理: 不同形式的能量可以相互转换。

• 示例1：热转换为功

  • 装置: 一个绝缘的活塞-气缸装置，内部装有气体，活塞上放置一个重物。
  • 过程: 对装置底部的气体进行加热（提供热量 $Q$）。
  • 结果:
    1. 根据理想气体定律 ($PV = nRT$)，在恒定压力下，气体的体积 $V$ 会随着温度 $T$ 的升高而增大。
    2. 气体膨胀，推动活塞和上面的重物上升。
    3. 将重物提升一定高度，就是系统对外界做了功 ($W$)。
  • 结论: 这个过程清晰地展示了热可以被转换为功。这是活塞发动机的基本工作原理。

• 示例2：功转换为热

  • 装置: 一个容器，内部装有液体或气体，并放置一个小螺旋桨（搅拌器）。螺旋桨通过一个滑轮系统与一个外部的重物相连。
  • 过程: 让外部的重物下落，重力对重物做功，通过滑轮带动容器内的螺旋桨转动。
  • 结果:
    1. 螺旋桨的转动会搅拌内部的流体，产生摩擦。
    2. 摩擦会产生热量，从而提高系统（容器内物质）的温度。
  • 结论: 这个过程展示了功可以被转换为热。
  • 生活实例: 在冬天摩擦双手取暖，就是将机械功通过摩擦转化为热能。

4. 膨胀功的定义与计算 (Definition and Calculation of Expansion Work)

• 膨胀功的微观理解:
  • 热: 微观上与系统内物体（分子、原子）移动的速度（即动能）有关。当存在温度梯度时，就会发生热量交换。
  • 功: 本课程主要关注膨胀功。
• 功的计算与符号约定:
  • 基础定义: 在高中物理中，功的定义是力乘以距离。

    $$\text{功} = \text{力} \times \text{距离}$$

  • 符号约定 (Sign Convention):
    • 视角: 我们从系统 (system) 的角度出发。
    • 系统对外做功: 如果系统（如活塞内的气体）膨胀，它对环境做功，系统自身损失能量。因此，我们将这种功定义为负值 ($W < 0$)。
    • 环境对系统做功: 如果系统被压缩，环境对系统做功，系统获得能量。因此，这种功为正值 ($W > 0$)。
• 恒定外压下的膨胀功:
  • 推导过程:
    1. 考虑一个活塞对抗恒定的外压 ($P_{\text{ext}}$) 膨胀，将重物提升了高度 $h$。
    2. 系统对外做的功为 $W = -(\text{力}) \times (\text{高度})$。负号来源于我们的约定。
    3. 根据压力的定义（$\boldsymbol{压力} = \boldsymbol{力} / \boldsymbol{面积}$，或 $P = F/A$），作用在活塞上的力为 $F = P_{\text{ext}} \times A$，其中 $A$ 是活塞的横截面积。
    4. 代入功的表达式：$W = -(P_{\text{ext}} \times A) \times h$。
    5. 活塞移动 $h$ 导致的体积变化量为 $\Delta V = A \times h$。
    6. 因此，得到最终公式：

       $$W = -P_{\text{ext}} \Delta V$$

  • 公式解释:
    • $W$ 是系统所做的膨胀功。
    • $P_{\text{ext}}$ 是系统膨胀时所对抗的恒定的外压。
    • $\Delta V$ 是系统的体积变化量 ($\Delta V = V_{\text{final}} - V_{\text{initial}}$)。
  • 符号验证:
    • 当系统膨胀时，$\Delta V > 0$，所以 $W < 0$，符合约定。
    • 当系统被压缩时，$\Delta V < 0$，所以 $W > 0$，符合约定。

●5. 可逆过程与可逆功 (Reversible Process and Reversible Work)

• “魔法拇指”类比: 设想用一个“魔法拇指”按住活塞。这个拇指可以非常非常缓慢地释放压力，使得在膨胀的每一步中，系统的内部压力都与外部压力保持平衡。
• 可逆过程 (Reversible Process):
  • 定义: 一个在任何时刻都无限接近于平衡状态的过程。在这个过程中，外压 ($P_{\text{ext}}$) 总是等于内压 ($P_{\text{int}}$)。
  • 现实: 实际上，$P_{\text{ext}}$ 必须比 $P_{\text{int}}$ 小一个无穷小量，膨胀才能发生。但在理想化的可逆过程中，我们忽略这个无穷小的差异，认为 $P_{\text{ext}} = P_{\text{int}} = P$。
  • 特性: 过程可以被无限缓慢地反向进行，使系统和环境都恢复到初始状态。
• 可逆功 (Reversible Work):

  • 问题: 在可逆膨胀中，随着体积 $V$ 变化，系统内部压力 $P$ 也在不断变化。因此，不能简单地使用 $W = -P \Delta V$。

  • 微分形式: 我们考虑一个无穷小的体积变化 $dV$，在此过程中做的无穷小的功为 $\delta W$。

    $$\delta W = -P dV$$

    （注意：这里使用 $\delta$ 而不是 $d$ 来表示功，因为功是路径函数，其微小变化量是非精确微分，后文会详述。）

  • 积分形式: 要计算从初始体积 $V_1$ 到最终体积 $V_2$ 的总功，需要对上式进行积分。

    $$W_{\text{rev}} = \int_{V_1}^{V_2} -P \, dV$$

  • 这里的 $P$ 是系统的内部压力，它会随着 $V$ 的变化而变化（例如，对于理想气体，$P=nRT/V$）。

6. 功的路径依赖性 (Path Dependence of Work)

• 核心思想: 系统从同一个初始状态到同一个最终状态，通过不同的路径所做的功是不同的。因此，功是一个路径函数 (Path Function)。
• 对比示例:
  • 路径1：对抗恒定外压的不可逆膨胀 (Irreversible Expansion)
    1. 系统初始时被两个重物平衡。
    2. 突然移走一个重物，系统将在剩余一个重物产生的恒定外压 $P_2$ 下突然膨胀到最终体积。
    3. 做的功为：$W_1 = -P_2 \Delta V$。
  • 路径2：可逆膨胀 (Reversible Expansion)
    1. 系统通过“魔法拇指”或每次移走一个无限小的重物的方式，缓慢地、可逆地膨胀到相同的最终体积。
    2. 做的功为：$W_2 = \int_{V_1}^{V_2} -P \, dV$。
• 结论: 由于在路径2中，压力 $P$ 是持续变化的（从高压逐渐降低），所以积分值（曲线下的面积）通常不等于路径1中的矩形面积 $(-P_2 \Delta V)$。这证明了功是路径依赖的。

7. 热的路径依赖性 (Path Dependence of Heat)

• 核心思想: 与功一样，热 ($Q$) 也是一个路径函数。从同一初态到同一终态，不同路径涉及的热量交换是不同的。
• 对比示例:
  • 路径1：定容加热，再绝热膨胀
    1. 用销钉固定活塞，保持体积恒定（定容过程）。
    2. 对系统加热，使其温度从 $T_1$ 上升到 $T_2$。压力会随之升高。
    3. 此过程吸收的热量为 $Q_V = C_V \Delta T = C_V (T_2 - T_1)$。
    4. $C_V$ 是定容热容 (Heat Capacity at Constant Volume)。
  • 路径2：定压加热 (Constant Pressure Heating)
    1. 不固定活塞，让其在一个恒定的外部重物压力下自由移动（定压过程）。
    2. 对系统加热，使其温度从 $T_1$ 上升到 $T_2$。在加热的同时，系统会膨胀。
    3. 此过程吸收的热量为 $Q_P = C_P \Delta T = C_P (T_2 - T_1)$。
    4. $C_P$ 是定压热容 (Heat Capacity at Constant Pressure)。
• 结论与推论:
  • 事实证明，$C_P$ 和 $C_V$ 是不同的。
  • 思考: 哪个过程需要更多的热量？
  • 解答: 路径2（定压加热）需要更多的热量。因为在定压过程中，系统吸收的热量一部分用于提高内能（升高温度），另一部分则用于对外做膨胀功。而在定容过程中，所有吸收的热量都用于提高内能。这个直觉实际上体现了热力学第一定律。

8. 内能：一个状态函数 (Internal Energy: A State Function)

• 内能 (Internal Energy): 用符号 $U$ 表示，是系统内部所有能量的总和。
• 理想气体的内能:
  • 在不考虑核反应和化学反应的情况下，理想气体的内能仅由其分子的动能构成（包括平动能、转动能、振动能）。
  • 由于理想气体模型假设分子间没有相互作用力，因此没有势能。其总能量只与分子的运动剧烈程度有关，即只与温度有关。
• 状态函数 (State Function):
  • 定义: 一个其数值仅取决于系统当前状态（由P, V, T等变量定义），而与系统如何达到该状态的历史路径无关的物理量。
  • 内能的性质: 内能 $U$ 就是一个状态函数。
  • 数学表达:
    1. 内能的变化量 $\Delta U$ 只取决于终态和初态：

       $$\Delta U = U_{\text{final}} - U_{\text{initial}} = U_2 - U_1$$

    2. 对于任意一个闭合路径（循环过程，终态=初态），状态函数的总变化量为零：

       $$\oint dU = 0$$

• 总结对比:
  • 状态函数: 内能 ($U$)
  • 路径函数: 功 ($W$) 和 热 ($Q$)

9. 热力学第一定律 (The First Law of Thermodynamics)

• 核心内容: 能量守恒定律 (Conservation of Energy)。能量不能被创造或消灭，只能从一种形式转化为另一种形式。
• 定律表述:

  • 宏观/有限变化形式: 一个系统从状态1到状态2，其内能的变化量 ($\Delta U$) 等于在此过程中系统吸收的热量 ($Q$) 与外界对系统所做的功 ($W$) 的总和。

    $$\Delta U = Q + W$$

    • 注意：这里的 $W$ 指的是外界对系统做的功。如果采用“系统对外做的功” ($W_{\text{by}}$)，则公式写为 $\Delta U = Q - W_{\text{by}}$。演讲者使用的符号约定与 $W = -P_{\text{ext}} \Delta V$ 是一致的。

  • 微观/无限小变化形式: 对于一个无限小的过程，内能的微小变化 $dU$ 等于吸收的微小热量 $\delta Q$ 和外界做的微小功 $\delta W$ 之和。

    $$dU = \delta Q + \delta W$$

• 精确微分与非精确微分:
  • $dU$: 精确微分 (Exact Differential)，因为它是一个状态函数 $U$ 的微分。它的积分值只与起点和终点有关。
  • $\delta Q, \delta W$: 非精确微分 (Inexact Differential)，因为 $Q$ 和 $W$ 都是路径函数。它们的积分值依赖于具体路径。
• 循环过程的推论:
  • 对于一个循环过程，$\oint dU = 0$。
  • 根据第一定律，这意味着 $\oint (\delta Q + \delta W) = 0$。
  • 这说明在一个循环过程中，系统吸收的总热量和对外界做的总功在数值上是相等的，两者不是独立的。

10. 应用：理想气体的可逆等温膨胀

• 过程描述:
  • 系统: 1摩尔理想气体。
  • 路径: 从状态1 ($P_1, V_1, T_1$) 到状态2 ($P_2, V_2, T_1$) 进行可逆等温膨胀。
  • 条件: 可逆 (“魔法拇指”实验) 且 等温 (温度 $T_1$ 恒定)。
• PV图: 在PV图上，这是一条反比曲线 ($PV = \text{常数}$)。
• 计算过程:
  • 内能变化 ($\Delta U$):
    • 因为是理想气体，其内能 $U$ 只依赖于温度 $T$。
    • 因为是等温过程 ($\Delta T = 0$)，所以内能没有变化。

      $$\Delta U = 0$$

  • 功 ($W$):
    • 功是PV曲线下的面积。使用可逆功的积分公式：

      $$W = \int_{V_1}^{V_2} -P \, dV$$

    • 对于1摩尔理想气体，$P = \frac{RT_1}{V}$。代入积分：

      $$W = \int_{V_1}^{V_2} -\frac{RT_1}{V} \, dV = -RT_1 \int_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V} \, dV$$

    • 积分结果为：

      $$W = -RT_1 \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$$

    • 由于是膨胀，$V_2 > V_1$，$\ln(V_2/V_1) > 0$，因此 $W < 0$，系统对外做功，符合预期。
  • 热 ($Q$):
    • 应用热力学第一定律: $\Delta U = Q + W$。
    • 因为 $\Delta U = 0$，所以 $Q = -W$。

      $$Q = RT_1 \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$$

    • 物理意义: 在等温膨胀过程中，系统对外做的功全部由从环境吸收的热量来补偿，从而保持系统内能（温度）不变。$Q > 0$ 表示系统吸热。

11. 应用：理想气体的可逆绝热膨胀

• 过程描述:
  • 系统: 1摩尔理想气体，但活塞是热绝缘的。
  • 路径: 可逆绝热膨胀。
  • 条件: 可逆 (“魔法拇指”实验) 且 绝热 (Adiabatic) (与外界没有热量交换, $Q=0$)。
• 定性分析:
  • 应用热力学第一定律: $\Delta U = Q + W$。
  • 因为绝热，$Q=0$。
  • 因为是膨胀，系统对外做功，$W < 0$。
  • 所以，$\Delta U = W < 0$。
  • 对于理想气体，$U$ 只取决于 $T$。$\Delta U < 0$ 意味着 $\Delta T < 0$。
  • 结论: 在绝热膨胀过程中，气体对外做功消耗了自身的内能，导致其温度下降。
  • PV图: 绝热膨胀曲线比等温膨胀曲线更陡峭，因为它会落到更低的等温线上。
• 定量推导 (以单原子理想气体为例):
  • 演讲者使用了单原子理想气体的内能公式 $U = \frac{3}{2}RT$ (对于1摩尔)。其微分形式为 $dU = \frac{3}{2}R \, dT$。
  • 从第一定律的微分形式出发: $dU = \delta Q + \delta W$。
  • 代入条件: $\delta Q = 0$ (绝热)，$\delta W = -P dV$ (可逆膨胀)。
  • 得到: $dU = -P dV$。
  • 联立两个 $dU$ 的表达式:

    $$\frac{3}{2}R \, dT = -P \, dV$$

  • 用理想气体状态方程 $P = RT/V$ 消去 $P$：

    $$\frac{3}{2}R \, dT = -\frac{RT}{V} \, dV$$

  • 分离变量（将含 $T$ 的项移到一边，含 $V$ 的项移到另一边），并约去 $R$：

    $$\frac{3}{2} \frac{dT}{T} = - \frac{dV}{V}$$

  • 对上式从状态1 ($T_1, V_1$) 到状态2 ($T_2, V_2$) 进行定积分：

    $$\int_{T_1}^{T_2} \frac{3}{2} \frac{dT}{T} = \int_{V_1}^{V_2} - \frac{dV}{V}$$

  • 积分结果为：

    $$\frac{3}{2} \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) = - \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = \ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right)$$

  • 去掉对数（两边取指数）：

    $$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{3/2} = \frac{V_1}{V_2}$$

  • 这个公式描述了理想气体在可逆绝热过程中，温度和体积之间的关系。它定量地表明，当体积增大时 ($V_2 > V_1$)，温度必然下降 ($T_2 < T_1$)。

12. 课程总结与安排

• 学习建议: 建议学生以理想气体定律为基础，在压力-体积 (P-V)图上练习，选择不同的路径（如等温、绝热、定压、定容等），尝试计算从一个点到另一个点过程中的热 ($Q$)、功 ($W$) 和内能变化 ($\Delta U$)。
• 作业与测验: 周三的家庭作业和之后的小测验中会包含这类计算题。
• 答疑时间: 讲师在当天下午1:30到2:30在西北角314室有答疑时间，欢迎需要帮助的同学参加。